Wir sind nicht gemacht für den Zufall. Deshalb funktionieren Spiele wie Lotto, Roulette und ähnliche überhaupt. Gewinnt man, hat man richtig gespielt. Verliert man, hatte man Pech. Anleitung zum Nachrechnen.
«Gott würfelt nicht», hat Albert Einstein gesagt. Und er meinte es wirklich so. Die Quantenphysik mit ihrer Aussage, dass Atomteilchen Zustände haben können, die durch den Zufall bestimmt werden, war ihm ein Dorn im Auge. Einstein war überzeugt, dass mit dieser Quantentheorie etwas nicht stimmen konnte. Dabei war nicht das Problem, dass Einstein zu wenig Phantasie gehabt hätte, um die Theorie nachzuvollziehen. Immerhin hatte er einige Jahre zuvor mit der Relativitätstheorie selbst eine überaus spektakuläre Arbeit abgeliefert. Aber dort geht alles mit rechten Dingen zu und her. Alles ist berechen- und vorhersehbar. Der liederliche Zufall hat in diesem strengen Gedankengebilde überhaupt keinen Platz. Und deshalb sprach er die Würflerei auch «dem Alten», wie Einstein Gott in einem Brief nannte, ab.
Was Einstein gestört hat, kennen wir alle – Genie oder nicht – aus dem Alltag: Ereignisse ohne erkennbare Ursachen stören uns. Sie stellen unsere Gewohnheiten, unser gesamtes Weltbild in Frage. Dass Dinge passieren – einfach so, überraschend, zufällig – halten wir fast nicht aus. Wir nennen es dann Pech, Schicksal, Unfall, Glück oder Schwein.
Wir sind totale Kausalitäts-Fanatiker. Unser ganzer Apparat ist unter anderem dazu gebaut, um möglichst schnell und sicher jeder Wirkung eine Ursache zuzuordnen. Das ist überlebenswichtig. Diese Fähigkeit nutzen wir täglich tausendfach.
Bereits als Säugling beginnt die Ausbildung zum Kausalitäts-Fachmann. Der Schlüssel dazu ist Spielen. Alle Menschen, unabhängig von Geschlecht oder Kultur, verbringt einen wesentlichen Teil ihres Lebens mit Spielen. Spielen ist ein Wesenszug des Menschen. Von klein auf nähern wir uns der Realität spielend. Dies macht absolut Sinn: Im kindlichen Spiel lassen sich Ursachen und ihre Wirkungen vortrefflich studieren. So lernen wir, was unsere Welt zusammenhält. Wir stellen fest, dass Herdplatten heiss sind und man sie besser nicht anfasst. Wir erfahren schon als Säugling, dass die Menschen zurücklachen, wenn man sie anlacht. Und spielend lernen wir die wichtigen Gesetze der Physik kennen: Dinge fallen (fast) immer zum Boden, wenn wir sie loslassen, Kugeln bewegen sich auf geraden Linien, wenn man sie anstösst. Fährt man mit dem Velo zu langsam, fällt man hin. Wir interagieren mit unserer Umwelt und schauen, was passiert, wenn man etwas verändert. Ursache erzeugt Wirkung. Das ist Spielen. Das ist Lernen.
Weil wir uns von klein auf daran so gewöhnt haben, sind zufällige Ereignisse den meisten Menschen unerträglich. Wir sind nicht gemacht dafür und tun ziemlich viel, um die Tatsache, dass es Zufälle gibt, aus unserem Alltag zu verbannen. Zum Beispiel haben die meisten Kulturen unter anderem zu diesem Zweck Religionen entwickelt. Wenn für ein Ereignis keine klare Ursache erkennbar ist, springen Gottheiten in die Bresche und liefern eine plausible Ursache. Die Kausalitäts-Kette ist wieder hergestellt.
Beispiele gefällig: Wird eine Schwarzafrikanerin krank, ist die Frage meist nicht „Wieso?“, sondern „Wer hat’s getan?“ Schuld an einer Krankheit ist nicht selten ein erboster Ahne. Im Christentum, dem Judentum und dem Islam hat Gott die Welt in sieben Tagen erschaffen. Dies scheint vielen von uns plausibler, als die Idee, dass das Universum inklusive der Menschen aufgrund zufälliger Prozesse entstanden ist. Viele freikirchliche Gruppieren stilisieren Krankheiten und Katastrophen zur Strafe Gottes hoch. Richtig dick tragen esoterische Gruppierungen auf. Für einige werden der Lauf der Welt und das Schicksal der Erdlinge von lemurianischen Wesen gesteuert, die wahlweise aus dem Erdinneren oder von den Plejaden kommen.
Die anziehung des Zufalls
Trotz aller Anstrengungen, den Zufall zu verbannen – zufällige und unvorhersehbare Ereignisse verströmen andererseits auch eine eigenartige Exotik, die viele Menschen magisch anzieht. Und wo lockt der Zufall besonders süss? Natürlich im Casino und in der Lotterie. Die Zahlen sprechen für sich: Seit 1980 hat sich der Umsatz der Landeslotterie (Romandie und Deutschschweiz zusammen) alle zehn Jahre verdoppelt.
Wir geben heute 8 Mal mehr aus für das Spiel mit den Zufallszahlen als noch vor 30 Jahren. Anders gesagt: Jede in der Schweiz lebende Person gibt im Jahr rund 340 Franken für Lotto und die weiteren Glücksspiele der Lotteriegesellschaften aus. Dies ist allerdings nur die halbe Wahrheit. In Wirklichkeit müssen sehr viele Leute sehr viel mehr für das Spiel mit den Zufallskugeln ausgeben. Denn sie müssen jene kompensieren, die rechnen können. Wer nämlich eine Ahnung von Wahrscheinlichkeit hat, gibt vermutlich eher kein Geld für die Lotterie aus. Lotto lohnt sich einfach nicht. Definitiv nicht! Im Schnitt werden in der Schweiz pro Person nämlich nur 230 Franken an Gewinnen zurückbezahlt. Der Rest geht in den Lotteriefonds, mit dessen Geld kulturelle Projekte unterstützt werden. Lotto ist eine Art Steuer – und wohl die einzige, die freiwillig und gerne bezahlt wird.
Jeder Lotto-Spieler kann davon ein Liedchen singen. Die meisten kaufen nämlich ein Leben lang Lose und gewinnen nur Kleinstsummen. Und das ist natürlich überhaupt kein Zufall, sondern eine Folge des Gesetzes der grossen Zahlen. Dieses sieht im Fall des Lotto-Spiels besonders schlecht aus – für die Spielerin und den Spieler.
31 Millionen Möglichkeiten
Dazu eine kleine Rechnung. Im aktuellen System „6 aus 42 plus Glückszahl“ gibt es insgesamt mehr als 31 Millionen verschiedene Möglichkeiten, den Lotto-Zettel auszufüllen. Aber nur einer davon ist der Haupttreffer. Die Wahrscheinlichkeit für den ganz grossen Jackpot ist also 1 zu 31 Millionen. Diese Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass man im Schnitt rund 31 Millionen Mal spielen muss, bis man einmal den Haupttreffer gewinnt.
Mit anderen Worten: Man bezahlt 31 Millionen Mal 2.50 Franken für einen Lottoschein, gibt also 77.5 Millionen für Lotto aus. Spätestens wenn man den Haupttreffer gewinnt, wird man feststellen, dass es sich nicht gelohnt hat. Denn der bisherige Höchstgewinn in allen Lottoziehungen in der Schweiz betrug rund 35 Millionen Franken – also rund die Hälfte dessen, was man im Schnitt investieren sollte, um einen Haupttreffer zu gewinnen. Anders gesagt: Je länger man Lotto spielt, desto eher verliert man sehr viel Geld.
Um diese Tatsache zu kaschieren, versuchen alle Anbieter von Lotterien damit zu werben, dass es jedes Jahr viele neue Millionäre gebe. Und seit Januar 2013 sollen es sogar mehr Millionäre geben als je zuvor. Auf diesen Zeitpunkt wurde das System von „6 aus 45“ geändert. Es müssen zwar immer noch 6 Zahlen angekreuzt werden, aber man muss nun nur noch aus 42 auswählen. „Weniger Kugeln. Mehr Lotto-Millionäre“, lautet der entsprechende Slogan.
Stimmt das auch wirklich? Was sicher stimmt: Kann man 6 aus 42 Kugeln auswählen, ist die Chance grösser, die 6 Richtigen zu erwischen, als wenn 45 Kugeln zur Auswahl stehen. Bei 42 Kugeln gibt es nämlich 5.2 Millionen verschiedene Lottotipps (ohne Berücksichtigung der Glückszahl), wogegen man bei 45 Kugeln unter 8.1 Millionen verschiedenen Tipps auswählen muss. Das ist allerdings nur die halbe Wahrheit. Denn, um den grossen Pot zu gewinnen, muss auch noch die Glückszahl stimmen. Und diese muss aus sechs Möglichkeiten ausgewählt.
Mit anderen Worten: Beachtet man auch noch die Glückszahl, gibt es nicht 5.2 Millionen, sondern satte 31.5 Millionen verschiedene Lottoscheine. Und unter dieser unglaublichen Menge gibt es bei jeder Ziehung genau einen, mit dem man den grossen Jackpot gewinnt. Im alten System „6 aus 45 mit Plus-Zahl“ (bis Januar 2013) musste gemeinsam mit den sechs Richtigen eine von drei Plus-Zahlen richtig getippt werden, um an den grossen Jackpot heranzukommen. In jenem System musste man aus 24.4 Millionen möglichen Lottoscheinen den Richtigen ausgefüllt haben.
Diese Tatsache ist auch den Lottospielern und -spielerinnen nicht entgangen. In verschiedenen Internet-Foren beklagen sie sich, dass das Lotto-Spiel zu teuer geworden sei und die Chancen auf einen grossen Gewinn zu schlecht seien. Der Hinweis von SwissLotto, dass im neuen System auch schon der normale Sechser (ohne Glückszahl) einen Millionengewinn abwerfe und es deshalb mehr Möglichkeiten gebe, eine Million oder mehr zu gewinnen, beruhigt die Gemüter nicht. Was zählt ist der Jackpot – und fertig.
Bei der Jagd auf den ganz grossen Gewinn lassen sie nichts unversucht. Auf unzähligen Internet-Seiten holen sie sich Hilfe. Beispielsweise lässt sich nachlesen, seit wie vielen Ziehungen eine bestimmte Zahl schon nicht mehr ausgewählt wurde. Aktuell (Stand 26. April 2014) ist die Zahl 13 seit 38 Runden nicht mehr gezogen worden. „Das geht doch nicht mit rechten Dingen zu!“, ist man geneigt zu denken. Doch ist es wirklich unglaublich? Die Wahrscheinlichkeit, dass die genau die Zahl 13 in einer Auswahl von sechs Zahlen fehlt, beträgt 86.5 Prozent. Dass die 13 in 38 Runden nicht gezogen wird, beträgt demnach 0.41 Prozent (0.865 hoch 38 ergibt 0.0041). Das ist tatsächlich sehr wenig. Aber es geht ja auch nicht wirklich um die 13, sondern darum, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass irgendeine beliebige Zahl während 38 Runden nicht gezogen wird. Und diese Wahrscheinlichkeit beträgt stattliche 17.3 Prozent. Das ist gar nicht so unwahrscheinlich. Immerhin ist es wahrscheinlicher, als mit einem Würfelwurf eine 6 zu erzielen. Darauf würde man sogar noch einen kleinen Geldbetrag wetten…!
Maschinen mit Gedächtnis?
Die Statistiken sind dennoch sehr beliebt. Denn sie suggerieren den Spielenden eine erhöhte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der nächsten Ziehung die Nummer 13 kommt. Und hier wird es gemein! Denn diese Statistiken, die aufgrund früherer Ziehungen gemacht worden sind, haben absolut keine Bedeutung. Insbesondere sagen sie null und nichts darüber aus, welche Zahlen bei der nächsten Ziehung wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher sind. Jede Zahl hat bei jeder Ziehung genau die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Ob man es glaubt oder nicht! Andernfalls müsste die Maschine ein Gedächtnis haben!
Doch diese Tatsache ist schwierig zu akzeptieren, denn auch hier zeigt sich, dass sich der Mensch in Bezug auf den Zufall nicht auf seine Intuition verlassen kann – egal ob es aus rechnerischer Sicht Sinn macht. Eine andere Statistik sagt aus, dass in den 134 Ziehungen seit Januar 2013 die Zahl 21 bereits 28 Mal gezogen worden ist, die 41 dagegen wurde lediglich 9 mal gezogen.
Was sagt uns die Intuition? Wie soll man mit dieser Information umgehen? Soll man auf die 21 tippen, weil sie offenbar besonders oft gezogen wird. Oder soll man doch eher auf die 41 setzen, weil sie noch ziemlich oft gezogen werden muss, damit am Schluss alle Zahlen ungefähr gleich oft gekommen sind? Antwort: Es spiel keine Rolle – oder mindestens fast keine.
findet Dich das glück?
Denn das Schwierigste beim Lotto-Spielen ist nicht das Tippen der Zahlen, sondern das Verhalten der anderen Spieler und Spielerinnen einzuschätzen. Tippen nämlich ganz viele Spielende auf die gleichen Zahlen und diese werden auch noch gezogen, wird der Gewinn unter allen Richtig-Tippern aufgeteilt. Es gab schon ganz böse Geschichten: Am 25. September 1993 tippten 4827 Personen fünf der sechs Zahlen richtig und erhielten für ihr Glück lausige 179 Franken. Grund: Es wurden fünf Zahlen der 6er-Reihe gezogen, die allesamt in der rechten Spalte auf dem Lottoschein zu finden sind.
Dies zeigt, dass es sich lohnen kann, zu überlegen, wie die anderen tippen könnten und dann etwas anderes zu tun. Für den Fall, dass man gewinnt muss man in diesem Fall den Gewinn nicht teilen. Doch leider ist auch diese Strategie schlecht. Denn es gibt viele Schlaumeier, die genau das Gleiche tun. Also müsste man sich als Oberschlaumeier überlegen, was die anderen Schlaumeier wohl tun werden, und dann etwas anderes tun. Dies natürlich in der Hoffnung, dass es nicht noch andere Oberschlaumeier gibt. Allerdings: wozu führen solche Überlegungen? Die beste Strategie ist, gar nicht auf die anderen zu achten und die Zahlen komplett zufällig zu wählen.
Doch auch hier zeigt sich erneut, dass sich uns der Zufall hartnäckig widersetzt. Wir sind nicht in der Lage, ohne Hilfsmittel zufällig sechs Zahlen aus 42 auszuwählen. Ob wir wollen oder nicht, beginnen wir sofort, Muster zu bilden, selbst wenn wir versuchen, solche zu meiden. Wir können nicht anders! Ein Selbstversuch kann dies deutlich vor Augen führen: Die Aufgabe besteht darin, eine zufällige Folge von Kopf und Zahl hinzuschreiben. Die Folge solle ca. 50 Zeichen lang sein. Nun zählt man, wie lange die längste Folge von aufeinanderfolgenden gleichen Symbolen (Kopf oder Zahl) ist.
Wer diesen Versuch zum ersten Mal mit sich selbst durchführt, wird feststellen, dass diese Zahl drei oder vier ist. Das ist typisch Mensch. Selbst wenn man eine Ahnung von Wahrscheinlichkeit hat, widerstrebt einem, allzu oft hintereinander Kopf oder Zahl hinzuschreiben. Macht man den Versuch jedoch mit einer richtigen Münze, die echten Zufall produziert, wird die längste Folge von gleichen Symbolen in den allermeisten Fällen fünf oder sechs sein. Wirft man die Münze gar 1000 Mal, so ist die Länge dieser längsten Folge gleicher Symbole in den meisten Fällen sogar um neun herum.
Wer also wirklich Lotto spielen will, sollte sich zuerst im zufälligen Denken stählen. Und dazu gleich noch eine Übung, die bekannt wurde unter dem Namen „Ziegen-Problem“.
In den 60er und 70er-Jahren lief im US-Fernsehen eine Spielshow, bei der die Kandidaten am Schluss wählen konnten, ob sie ihren ganzen Gewinn hergeben und um ein Auto spielen wollten. Das Auto war hinter einer von drei Türen versteckt. Die Kandidatin oder der Kandidat musste sich für eine Tür entscheiden. Darauf öffnete der Moderator eine der zwei nicht ausgewählten Türen, hinter der sich immer eine Ziege befand. Nun hatte der Kandidat die Möglichkeit, seine Wahl zu überdenken und die Tür zu wechseln.
Die folgende Frage zu diesem Spiel warf 1990 sehr hohe Wellen: „Soll der Kandidat die Tür wechseln oder nicht?“ – „Spielt keine Rolle“, ist man spontan geneigt zu denken. Er hat die Wahl zwischen zwei Türen, hinter einer ist das Auto, also ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen 50%. Und dies egal, ob er wechselt oder nicht. Doch dann kam 1990 Marilyn vos Savant, die in der Sonntagszeitung „Parade Magazine“ die Kolumne „Ask Marilyn“ betreute. In dieser Kolumne schrieb sie auf eine entsprechende Leserfrage: „Sie sollten wechseln! Die als erstes gewählte Tür hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 zu gewinnen, aber die zweite Tür hat 2/3 Wahrscheinlichkeit.“
Alles klar so weit. Doch dann brach ein regelrechtes Gewitter über Frau vos Savant herein. Hunderte von Männern, die meisten von ihnen sehr darauf bedacht, ihren akademischen Grad bekannt zu geben, protestierten lauthals gegen die dilettantische Meinung von Marilyn vos Savant. Einige verstiegen sich gar zu sehr verallgemeinernden Aussagen über die mangelnde Intelligenz der amerikanischen Bevölkerung im Allgemeinen und Frau vos Savants im Speziellen.
Marilyns Regel
Doch Marilyn hatte Recht. Die Überlegung dazu ist sogar recht einfach zu verstehen – auch für Universitätsprofessoren. Die entscheidende Frage ist: Was hat der Moderator beim Öffnen der Tür für Auswahlmöglichkeiten?
Selbstverständlich will er nicht die Tür mit dem Auto öffnen. Hat der Kandidat also am Anfang die Tür mit dem Auto gewählt, kann der Moderator zwischen zwei Ziegen-Türen wählen. Wenn dann der Kandidat die Tür wechselt hat er Pech. Hat er aber am Anfang eine Tür gewählt, hinter der eine Ziege steht, hat der Moderator keine Wahl mehr. Er muss die Tür mit der zweiten Ziege öffnen – weil er ja dem Kandidaten nicht zeigen will, wo sich das Auto befindet. In diesem Fall gewinnt der Kandidat das Auto, wenn er die Tür wechselt. Mit anderen Worten: Wenn der Kandidat bei der ersten Wahl eine Ziege erwischt, gewinnt er das Auto, wenn er die Tür wechselt. In 2/3 der Fälle wählt er am Anfang eine Ziege. Nochmals anders gesagt: In zwei Drittel der Fälle gewinnt er das Auto, wenn er die Tür wechselt. Wenn er die Tür nicht wechselt, gewinnt er nur in einem Drittel der Fälle das Auto. Alles klar! (Die Erklärungen von Marilyn vos Savant finden sich hier: http://marilynvossavant.com/game-show-problem/ ) Eine Simulation des Spiels, bei dem man selber ausprobieren kann findet sich hier: http://www.userpages.de/ziegenproblem/
Wirklich alles klar? Zum Schluss gleich noch ein Gedanken-Experiment. Auf der Strasse bietet ein Gaukler ein Spiel mit drei Karten an. Eine der Karten ist auf beiden Seiten rot gefärbt, eine ist auf beiden Seiten schwarz und eine ist auf der einen Seite rot und auf der anderen schwarz. Ein Zuschauer zieht blind eine der drei Karten und legt sie auf den Boden. Die sichtbare Seite zeigt rot. Der Gaukler wettet 10 Franken, dass die untere Seite ebenfalls rot ist. Sollte der Zuschauer die Wette annehmen?
Lösungsvorschläge an public@emil-mueller.ch Gedankenanstösse finden sich unter http://forum.worldofplayers.de/forum/archive/index.php/t-729499.html